Kardinál aneb Úvod do klasické teorie množin

Recenze

Vytvořeno 7. 6. 2013 3:00

Autor: Štěpán Ledvinka

Množiny – strašák nejednoho školáčka, na druhou stranu ale pozoruhodná a relativně nová partie matematiky, která je plná velmi zajímavých a mnohdy i uspokojivě nezodpovězených otázek. Dá se říci, že množiny patří k nejnovější a nejmodernější partii matematiky, se kterou se mají možnost studenti středních škol (a dokonce i škol vysokých v základních kurzech) setkat.

Jednou ze zásadních otázek teorie množin je otázka nekonečen. Ne, nejde o špatné mluvnické číslo. Skutečně se bavíme o těch nekonečnech. Jak je to možné? Vždyť když je něčeho nekonečně mnoho, tak je toho nekonečně mnoho a na co tedy to množné číslo? Pokusím se (ač nejsem matematik profesionál) problém nastínit.

Všichni velmi dobře známe přirozená čísla (1, 2, 3, …), dá se dokázat, že těchto čísel je nekonečně mnoho. Například takto: Nechť n je “největší” známé přirozené číslo, pak podle axiomů, kterými zadáváme přirozená čísla (jsou sice přirozená, ale korektně je matematicky definovat se povedlo až v 19. století), existuje přirozené číslo n+1, které bude také přirozené, a tudíž bude větší než „největší” atd. Tedy přirozených čísel je nekonečně mnoho. Součást (množinově bychom řekli podmnožinou) přirozených čísel jsou tzv. prvočísla. Tato nádherná čísla mají velmi zvláštní vlastnosti. Prvočísla jsou taková přirozená čísla, která jsou beze zbytku dělitelná buď 1, nebo sama sebou. Nejmenším prvočíslem je číslo 2. Dá se dokázat, že prvočísel je nekonečně mnoho. Dokazujeme to např. sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 • p2 ••• pn + 1 není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo x musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tedy množina prvočísel, která je podmnožinou přirozených čísel, kterých je nekonečně mnoho, obsahuje prvky, kterých je, jak jsme si teď dokázali, také nekonečně mnoho. A právě i tomuto problému se věnuje kniha Petra Vopěnky Úvod do klasické teorie množin.

Profesor Petr Vopěnka (16. 5. 1935) patří mezi žijící legendy československé a české matematiky, je zakladatelem alternativní teorie množin, filozofem a v posledních letech i překladatelem klasických matematických textů.

V knize Úvod do klasické teorie množin nám autor svým osobitým a originálním způsobem předkládá klasickou formulaci teorie množin. Nejde ovšem o žádné populárně-naučné povídání o matematice. Jde o matematický text, který je doplněn bohatým a zasvěceným autorovým komentářem. K těmto komentářům profesor Vopěnka používá metafor, které ovšem vyžadují od čtenářů široký a hluboký kulturní rozhled.

Přestože je výklad veden tak, aby byl více „lidský“, i tak patří k náročnějším textům, které od čtenáře vyžadují plné soustředění. Knihu určitě nečtěte bez tužky a papíru, a s otevřenou myslí. Kniha čerpá z autorovy knihy Vyprávění o kráse novobarokní matematiky (v roce 2004 vydalo nakladatelství Práh), ve které je velmi zeširoka představen vývoj množinové matematiky. Pokud by čtenář toužil po ještě hlubším vhledu, tak po této knize může sáhnout.

Knihu doporučuji nejen studentům matematiky či její historie, ale mohla by být velmi přínosná i humanitně založeným čtenářům.

Knihu Úvod do klasické teorie množin vydalo nakladatelství Fragment